概率的意义：随机世界与大数2017年1月15日

这几个例子告诉我们，在处理概率问题时，情境要定义清楚。用术语来说，就是概率空间要明确给出，否则将导致各说各话。有时虽未给出概率空间，但情境较简单，大家有共同看法，这时未特别强调概率空间为何，还没问题。如“投掷一的骰子，求点数大于4之概率”。虽只是简单的描述，但不至于有疑义。当对情境有疑义时，就要如庄子在秋水篇讲的，“请循其本”，把概率空间调出来。此有如上或社会上，遇到有重大争议时，就要祭出，看有没违宪，并由大解释。对一给定的情境，要很谨慎的面对。否则即使是概率统计专业人士，也可能解读错误。

编辑：

在随机世界，究竟何者，常属未知。我们往往无法“证明”那件事是真实的。不过是一个个的假设，端看你接受那一假设。四面体点数1出现的概率，是否真为0.1，即使投掷再多次，都无法证明其。只能说数据显示“可以接受”，或“无法接受”概率为0.1。这里面有一套机制，以决定接受或不接受。

信赖区间

这类例子很多。打击手挥棒前，可以说打出安打之概率为0.341，打完不是安打就非安打，0.341已派不上用场了。再给一例。假设某银行发行的乐透彩，每期自1至42号中，开出6码为头号码。你签了一注6码，开前，你知道很容易“至少中1码”，因概率约为0.629(见附注1)。等开后，你的彩券会至少中1码之概率，将是1(若至少中1码)，或是0(若1码皆未中)。

再看一例。有一对夫妻刚搬进某社区，大家只知他们有两个小孩，并不知性别。某日社区一管理员，见到此家之妈妈，带着家中一小孩在玩耍。若该小孩是女孩，求此家两小孩皆为女孩之概率。很多人以为此问题不难，认为所求概率就是1/3。其实此问题比我们想像的复杂很多。关键在如何将“见到此家之妈妈，带着家中一女孩“，为适当概率空间中的事件。也就是要楚，究竟如何带小孩出门？要注意的是，前述事件并不等同于“此家至少有一女孩”!

岁月匆匆，七十多年过去了，今日统计学家，当然已完全弄懂信赖区问的意义。对不同的参数，不同的分布，可有不同的信赖区间;即使同一参数且同一分布，也可以不同的方法，得到不同的信赖区间。有时因条件不足，或计算复杂等原因，只好退而求其次，得到近似的信赖区间。当然这时需要一些条件，及利用一些。信赖区间亦可比较优劣。要知统计里有各种推论方法，但因处理的是随机现象，少有“倚天既出，谁与争锋”的方法。而评比时，也要订出评比准则。否则就像有个停止不动的钟，及一每日慢1分钟的钟，如何判定何者较准？前者可是每日皆有完全准确的时刻，后者却是每1440天(一天有1440分)，才有一完全准确的时刻。不楚如何评比，将会各说各话。

在统计里，样本数愈大，将使我们的推论愈精准。

导语

何处是概率天地

概率是针对随机现象。但并非每件事都是随机的，我们说过还有必然性。假设投掷一两面皆是人头的铜板，并观察会得到那一面。你晓得这是一必然现象，但仍可说会出现人头的概率为1，而其他情况出现的概率为0。也就是视此为一“退化的”随机现象。

Yes，becausemychanceofgettingthecarwillincreasefrom33.33%to66.67%byswitchingfromdoor1todoor3.

解释概率

2009年7月底8月初，世界高尔夫球王老虎伍兹(TigerWoods)，参加在美国州举行的别克公开赛(BuickOpen)。第1轮打完，落后领先者多达8杆，排名并列95。引发他可能难逃职业生涯，首次连续2场比赛(前一场是英国公开赛(TheOpenChampionship，在英国之外常称为BritishOpen))，提前被淘汰的话题。不过老虎毕竟不能小觑，打完前3轮后，伍兹跃居首位。

这一段话，大致说明数学及统计的重要性，及其各自的内涵。

上述三种是常见对概率的解释，大抵也就是人们评估事件发生可能性之大小的几种思维。虽是针对不同的情况，但常能交互着运用。大家都听过曾参的典故吧!有个与曾子同名的人，好心者告诉曾母“曾参”。曾母说“吾子不”，继续织布。过一会儿，又有人来说“曾参”。曾母仍继续织她的布，这么好的儿子怎可能？但当第三人跑来说“曾参”，曾母就害怕了，丢掉织布器具翻墙而逃。所谓“其母惧，投杼踰墙而走”。这故事出自战国策秦策二。因此当拿到一铜板，可主观地认为，发行不该会有偏差，两面出现的概率，应皆为1/2(这也可以是基于相同可能性之想法)。若投掷10次，正面出现8次，可能觉得有些奇怪。若继续投掷，结果100次中，出现80个正面，这时相对频率的观点，很可能便将。类如曾母，调整看法，不再认为此铜板。

1987年，是印度传奇数学家拉曼努扬(SrinivasaRamanujan，1887-1920)的百年诞辰。为了纪念他，有一系列的活动。当代著名统计学者，出生于印度的劳氏(C.RadhakrishnaRao，1920)，也应邀做了三场演讲。之后，印度统计学研究所(IndianStatisticalInstitute)基于劳氏的演讲稿，于1989年，为他出版了统计与真理一书。此书于1997年发行第二版。

摘要:今日统计学家，当然已完全弄懂信赖区问的意义。对不同的参数，不同的分布，可有不同的信赖区间;即使同一参数且同一分布，也可以不同的方法，得到不同的信赖区间。有时因条件不足，或计算复杂等原因，只好退而求其次...

数据(data)是统计学家做决策之主要依据。若缺乏数据，他们往往将一筹莫展。来看一简单且常见的情况。假设欲估计一铜板出现正面之概率p。很自然地，便投掷若干次，譬如说n次，并观测n次的结果。这个过程便称为取样。在本情况中，各次投掷的结果并不重要。总共得的正面数，以a表之。知道a，就已掌握全部资讯[a称为充分统计量(sufficientstatistic)]。给定信心水准，并利用n及a，可得一信赖区间，但作法并不唯一。亦即对于p，有不同的信赖区间公式。但课纲的写法，好像信赖区间的公式唯一。此处由于其中涉及二项分布，计算复杂些，如果n够大(n太小则不行)，我们常可藉助常态分布来近似。这要用到概率论里另一重要的—中央极限(Centrallimittheorem)。必须一提，只有以常态分布来近似时，才需用到中央极限，并非求信赖区间皆要用到此。

这时大家看法丕变，一致认为这座冠军盃，几乎可说是他的囊中物了。因过去的纪录显示，伍兹如能带着54洞领先进入决赛圈，战绩是35胜1败。你要不要猜后来他赢了没有？运动比赛，往往有过去资料可参考，此时相同的可能性便不宜用了。36次中成功35次，“相对频率”为35/36(约0.972)。这种以相对频率来解释概率，是常有的作法。适用能重复观测的现象。会不会有爆出冷门的时候？当然有。只是对一特定事件，用过去多次同样情况下，该事件发生的相对频率，来估计下一次事件发生的概率，乃是在没有更多资讯下，常被认为一属于客观的办法。

某些物理学家，说不定认为对投掷铜板，由给定投掷的速度、角度、地面的弹性、铜板的形状及重量等条件，可算出铜板落地后，会那一面朝上，因此这不是随机。至于乐透彩的开，只要起始条件都能测出，则会开出那一号球，也能算出，因此这也不是随机。但你大约也知道所谓蝴蝶效应(butterflyeffect)。量测极可能有误差，而有时一些微小的改变，影响却可能很大。因此我们宁可相信这些都是随机现象。

我们常对某一未知的量做估计。未知的量可以是某事件发生的概率，某分布的参数(如期望值及变异数等)，或某物件之寿命等。这些未知的量，可通称为参数。有时会以一区间来估计参数，并给出此区间会涵盖该参数之概率。这就是所谓区间估计，所得的区间，称为信赖区间。而区间涵盖参数之概率，则称为此区间之信心水准(confidencelevel)。与概率一样，信心水准是一介于0，1间的值，常事先给定，且以百分比表示。90%、95%、99%等，都是常取的值。

虽说“主观”，但仍要合理。例如，考试有及格与不及格。若认为会及格的概率为0.9，这没问题，人总要有点自信，但若又同时担心有0.8的概率会不及格，那就不行了。各种可能性发生概率相加要为1。即使是主观，可以独排众议，仍须。不能说，既然是主观，便可以任意自定各事件之概率。因此不论是那一种对概率的解释，都自然地，或说必须要满足一些共同的规则。这点大家应能理解。

之前那位数学系毕业生的解释，这时便能派上用场。此即大数(lawoflargenumbers)之一简单的版本。数学上的意思为，事件出现的相对频率，会“概率”至事件发生的概率。要知随机世界中，仍有些要遵循，大数是其中很重要的一个。当然我们已指出了，实际上并无法观测事件无限多次。那是否可说，事件出现的相对频率，当观测数够大，须接近事件发生的概率？也非如此。事件只要概率为正，便都可能发生。所以，不论观测数再大，都不能排除很偏颇(如观测1，000，000次，点数1出现的次数为0，或1，000，000次)的事件发生。但是，这时统计学家跳出来了，可以做一检定，检定点数1出现的概率是否真为0.1，这是属于统计学里假设检定(testinghypothesis)的范畴。简单讲，是以在某一假设下，会观测到这样的结果，是否算不寻常？所谓不寻常，是指发生的概率很小，小于某一预设的值。若属于不寻常，则当初的假设就不宜接受。附带一提，当假设一铜板为，则投掷100次，出现至少80次正面，较投掷10次，出现至少8次正面，前者是更不寻常的，因它发生的概率，远比后者小。所以，在同样获得八成以上的正面数下，投掷数愈大，将会使我们更相信此铜板非，而接受它出现正面的概率，至少是0.8。这说明：

有法国牛顿之称的拉普拉斯(Pierre-Simon，MarquisdeLaplace，1749-1827)曾说：

随机世界与大数

与数学的其他领域相比，概率论的发展是较晚的。但化后，概率论便快速地有了深而远的发展，并成为数学中一重要的领域。这都要归功于二十世纪那位重要的概率学家，的科莫果洛夫(AndreyNikolaevichKolmogorov，1903-1987)，于他1933年出版，那本不到100页的小书概率论的基础(FoundationsoftheTheoryofProbability)中所奠定。在此书中，他说：

在第2节我们以概率空间的方式引进概率。由于样本空间可以是虚拟的，此件也就是虚拟的。但假设真的有一项观测，如投掷一个4面体，4面分别标示点数1，2，3，4，并观测所得点数。则样本空间为1，2，3，4之集合。事件的集合可以取那一个最大的，也就是包含样本空间之所有子集所构成的集合。你如果学过排列组合，便知此最大的事件集合中，共有16(2的4次方)个元素。至于概率函数，假设点数1，2，3，4出现的概率，分别为0.1、0.2、0.3，及0.4，相加为1。至于任一事件的概率，就看该事件包含1，2，3，4中那几个数，再把对应的概率相加便是。如一事件中恰包含2，4，则该事件的概率为0.2+0.4=0.6。馀此类推。这就建立了一概率空间。对同一样本空间，可定义出很多不同的概率空间。

在抽象的意义下，所有科学皆为数学。

再看如课纲中所说，也可以乱数表模拟出现正面(课纲中少了“正面”二字，意思便不通)概率为p的铜板n次，以求得信赖区间。你看，p根本是事先设定，模拟所得之一固定区间，p有没有落在其间，一看便知，如何能说该区间涵盖p之概率为0.95？就算你不是模拟，而是实际拿一铜板投掷，则p只是未知，却为某一定值(说不定发行铜板的单位知道)，投掷后所得之固定信赖区间，已无随机性了，它只会涵盖p，或不会涵盖p。可以这样想，对同一铜板，每人所得之95%信赖区间有异，如何能个个皆，其区间涵盖p之概率为0.95？

但对已命好题目的老师，去判断那一题会考出的概率，就没什么意义了。因对他而言，每一题会考出的概率，只有1或0，不会是其他值。同样地，对看到背后水果的人，水果会是橘子或苹果的概率，将只能说1或0。随机与随意不同。我们说过了，概率中那套逻辑，是有够大的弹性，让人能挥洒，只是仍要合理，否则就是抬槓了。若你明明知道那是苹果，硬要说它是橘子的概率为0.5;或明明已从医生处掌握一切讯息的待产妈妈，还说生下来，是男是女的概率皆为0.5，那就不是在谈概率了。

在第一版的序文中，劳氏提到：

原作者：黄文璋

翻开统计史，信赖区间，是另一著名统计学者，出生于波兰，1938年才移民至美国的奈曼(JerzyNeyman，1894-1981)，于1934年演讲中首度提出。他的演讲结束后，大会包雷(ArthurLyonBowley，1869-1957)于致词中提到，“我不很确定此信心不是一信心戏法”。要知奈曼信赖区间的概念刚提出时，大部分的统计学者，包括被视为是现代统计学之创始者，英国的费雪(SirRonaldAylmerFisher，1890-1962，常以R.A.Fisher称之)均难以接受。在所谓95%信赖区间中，那95%究竟是指什么？是概率吗？如果是，那又是什么的概率？虽奈曼取巧地以信赖区间，来称呼此一他创造出来的东西，而避用概率一词。但包雷及其同行，当然一眼便看穿这个手法。这段过程，可参考Salsburg(2001)Chapter12(但该书中的A.L.Bowley应该是G.M.Bowley)，及Sawilowsky(2003)一文。

对估计铜板出现正面之概率p，取样前，信赖区间为一随机区间，若信心水准设定为95%，则有(或精准地说“约有”，如果该信赖区间只是近似的)0.95的概率，信赖区间会包含p。取样后，得到一固定区间。则p会属于该区间的概率，将不是1便是0，而不再是p了。为何如此？很多人对此常感困惑。

有个修过概率论的数学系毕业生，好心地对你解释如下：

概率既然与我们的生活习习相关，因此若能善用概率，将有助于在随机世界中，更精准的做决策。只是却往往概率应用不易，得到的概率值，常被认为是错的。而且还众说纷纭，各提出不同的概率值。个中原因何在？一主要原因，即情境解读有误。

概率的意义：

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我相信：

最后看另一常出现于概率论教科书中的例子。平面上有一单位圆，随机地画一条弦，求弦长大于此圆的内接等边三角形之边长的概率。利用几何，单位圆的内接等边三角形之边长可求出。但如何是随机地画一条弦呢？要知由1至n的n个正整数中，随机地取1数，其意义较清楚，就是每一数被取中的概率皆为1/n。自区间[0，1]中随机地取1数，其意义也还明白，就是此数会落在[0，1]之任一子区间的概率，为该子区间之长度。但随机的画弦，是如何画法？此处对于“随机”一词，可以有好多种解释。解释不同，画弦的方式将不同，因而求出的概率也就不同。

另外，对一四面体，也可估计点数1出现的概率，有一些不同的估计法，可以得到不同的估计量。在数学中，使用不同的方法，须导致相同的结果。所谓殊途同归。但统计里，除非做些，否则常无定于一尊的方法。对不可测的未来，我们常要做估计，统计在这方面，能扮演很好的角色。诸如铜板出现正面的概率，及病人的存活率等，皆能估计。但有时觉得以一个值估计，虽然明确，但估计值很难恰好等于真实值，一翻两瞪眼，常估计不准。信赖区间的概念，因而产生。

概率论作为数学学科，可以而且应该从开始发展，就如同几何、代数一样(ThetheoryofprobabilityasmathematicaldisciplinecanandshouldbedevelopedfromaxiomsinexactlythesamewayasGeometryandAlgebra)。

务实的你，很可能不觉得这样的解释很实际。先提出疑问“什么是趋近至无限大？”就是一直投掷，不可停止，日出日落，春去秋来，继续投掷，即使夸父追日成功了，无限大也仍未达到，还得投掷。那位数学系毕业生，一听到你问起无限大，如鱼得水，这是他在数学系四年寒窗，学到的几招独门绝活之一。你不得不停止无限大这个话题，因连夸父追日，你也觉得岂有成功时？如何能接受解释概率，还得涉及无限大？但还一点你不吐不快的是“我就是不了解概率值的意义，怎么却用概率的概念来解释给我听？”

比较正确的应该是，若主持人事先知道汽车在那扇门后，则他会打开1扇门后是山羊的门(这是较合理的作法，否则游戏便无法进行了)，这时若换选第3扇门，则如电影中那位学生所述，得到汽车的概率，将由1/3增加为2/3。但若主持人事先不知汽车在那1扇门后(这当然是少见的情况)，只是随机地自第2及第3扇门中，挑一扇打开，且刚好门后是山羊，则便不用换，因换或不换，得到汽车之概率，皆为1/2。

这门源自考虑赌博中的机运之科学，必将成为人类知识中最重要的一部分，生活中最重要的问题中的大部分，都将只是概率的问题(Thisscience，whichoriginatedintheconsiderationofgamesofchance，shouldhavebecomethemostimportantobjectofhumanknowledge.Themostimportantquestionsoflifeare，forthemostpart，reallyonlyproblemsofprobability)。

想解释概率值的意义，将会在概率及无限大，一层又一层的打转。这有如想去定义什么叫做点，结果将如同陷在线团中，学步维艰。最后只好说，点是无定义名词。但无论如何，你应可理解，对前述4面体，仅投掷1次，是无法显示点数1出现概率0.1，那个0.1的意思。概率并非只看“少数几次”的结果。概率是在大样本(n很大)下，威力才。概率值的意义，既然不能以一套可接受的逻辑来说明。那么退而求其次，可否让人略微了解概率值的意思？或者说(除非是虚拟，只是在求一些概率值)，你拿一4面体，且点数1出现的概率为0.1，怎么样才知道你讲的是真的，而非，或者说记错。

追根究底，还是不少学习者，未能正确了解概率的涵意。

某君看上一女孩，惊为天人，觉得这是他的新娘。评估后信心满满，自认追上的机会有8成。旁人却都不看好，问他8成这一数字，是如何冒出来的？该君举证历历，一个又一个的迹象，显示那女孩对他很有好感。这个0.8的概率，就是所谓主观概率。主观概率当然也可基于过认识概率35去一些客观的事实。只是即使面对同样的资料，不同的人，可能有不同的判定，因而给出不同的主观概率(看过他其实没那么喜欢你(He’sJustNotThatIntoYou)吗？片中那个叫Gigi的女孩，便常男生所透露的讯息)。有些现象就是不能重复观测。如核能电厂的意外，及彗星撞地球等。以追女孩为例，大约少有女孩，会让你做实验，反覆地追，然后数一数其中成功几次，来定下她会被你追上的概率。对这类无法重复观测的现象，在谈概率时，主观概率就常派上用场。每天早上出门，我们不是惯于抬头看天，判断一下今天下雨的概率有几成？只是往往父母认为的概率会大些，该带伞，而小孩所认为的下雨概率会小些。

教授则说“Verygood!”，认同其看法，也就是该换。有些人对此提出质疑。

在最终的分析中，所有知识皆为历史。

当然，你可以不信邪，不论投掷的结果如何，皆认为那只是短暂的情况，意志坚定地认为这是一的铜板。这并没有不行，就像会有母亲，即使再多的人证，只要她没亲眼看到，她就不信儿子会。要知随机现象，事件只要概率为正，不论概率值多小，便皆可能发生。毕竟铜板正面出现的概率为何，只有天晓得。但引进概率与统计，乃为了协助我们做决策可以更精准。而决策可以与时推移，并非不能更改。有如气象局对颱风会带来多少雨量，须密切掌握新的动向，而随时修正。要有随机的思维，如前言中劳氏所说的，从给定的结果，验证前提。因此针对100次投掷，出现80个正面，多数人面对此结果，还是会认为0.8的正面出现概率，较0.5的概率可信。稍后我们会再来看，10次中的8次，与100次中的80次，相对频率同为0.8，但提供的资讯，是否有异？

在的世界里，所有判断皆为统计。

一骰子有6个面，一掷之下，会得到偶数之概率为何？骰子看起来没有异样，就假设每个面出现的概率皆相同，即均为1/6。而偶数面有2，4，及6等3个。因此所求之概率为3/6。这就是所谓古典的概率，基本假设是“相同的可能性”。先求出观测的现象共有几种可能，再求出其中有几件是我们有兴趣的。将后者除以前者，即为所要的概率。虽说是“古典”，这种概率的意义，至今仍处处可见。採用的范围包含诸如抽籤、玩扑克牌，及玩乐透彩等。又如某项工作徵才，报名的有82人，录取5人。若没有什么特别的资讯，便只能假设每人被录取的概率皆相同，即皆为5/82。

虽然已有上述三种对概率的解释，也涵盖了不少实际生活中所遇到的情况，数学家当然不会在此止步。他们喜欢抽象化，及一般化。像解方程式，会寻求公式，以表示出某类方程式的解，而非只满足于求出一个个的特例之解。又如当完全了解实数系统后，便会以化的方式，定义实数系统。即给一集合，没说是数字的集合，对其中的元素定义二运算，并给出10条遵循的(axiom，规则)。你好奇该二运算是否一为加法，一为乘法？而怎么没有减法与除法？名可名，非常名，数学家不认为你提出的是重要的问题。但用心体会后，你终于发现原来二运算，其一等同于加法，其二等同于乘法。也看出此集合中，有一元素根本就是0，而有一元素根本就是1。数学家对你的洞察力，仍不以为意，但同意你可以这样想。

就算你已接受了概率空间的概念，反正数学家就是常给一些其乐的定义，仍可能会好奇，所谓点数1出现的概率0.1，究竟是什么意思？是每投10次，点数1恰出现1次吗？非也!

在概率空间的架构下，不论采用何种方式解释概率的人，都可各自表述，找到他所以为的概率意义。但因抽象化后，不再局限于铜板、骰子，及扑克牌等，便能讨论较一般的问题，有够多的理论可挖掘。

我们先以下例来说明。假设某百货公司周年庆，顾客购物达一定金额，便能自1至10号中抽1彩球。若抽中5号，今天在该公司的花费，可获30%抵用券。在抽球之前，你知道有0.1的概率能获抵用券，机会不算小。一旦抽出，一看是3号，获抵用券的概率当然便是0了。

但是读者不知是否注意到，在主持人事先知道汽车在那一扇门后的情况中，我们其实还隐含做一假设。即若第2及第3扇门后皆是山羊，则主持人乃随机地(即各以1/2的概率)打开第2或第3扇门。事实上，可以有更一般的假设。当第2及第3扇门后皆是山羊，假设主持人分别以q及1/q的概率，打开第2或第3扇门，其中0≤q≤1。则换选第3扇门，得到汽车的概率成为1/(1+q)(见附注2)。原来此概率会受主持人是如何打开第2扇门的影响!很多人可能未想到这点。由于1/(1+q)≥1/2，所以换，仍是较好的选择。

什么叫以化的方式，来引进概率？先要有一个集合，称做样本空间，当做某一观测之所有可能结果的集合。可以真的有这一观测，或只是虚拟的。样本空间的某些子集合，是我们有兴趣的，这些就是一个个的事件。所有事件也构成一集合。最后定出一概率函数，即对每一事件，给一介于0，1间的值，为该事件之概率。样本空间、事件的集合，及概率函数，三者便构成概率空间(probabilityspace)。这其中对样本空间没有太大要求，但不可以是空集合。而事件的集合，要满足若干条件。简单讲，就是你有兴趣的事件不能太少。譬如说，不能只对某事件A发生有兴趣，却对A不发生没兴趣。因此事件的集合要够大，至少该有的都得纳入。这有点像婚宴前拟宾客名单。可以请很少人，如只有双方家长。而一旦多列了某人，与他同样亲近的人便也要一併请。所以每多列1人，将不只是增加1人而已，而会随之增加几位。又概率函数，既然以概率之名，当然要符合过去大家对概率的认知，满足一些基本的条件。

那95%有何用？0.95是一概率值，而概率值从来就不是只看一次的实验结果。大约可以这么说，如果反覆实验，而得到很多信赖区间，则其中会包含p的信赖区间数，约占全部区间数的95%。所以，0.95的意义，乃如同上一节我们对概率的解释。但要留意的是，对同一个p，如果全班40人，所得到的40个95%信赖区间，其中包含p的个数未超过85%(即未超过34个)，也不要太惊讶。此概率约为0.01388(附注2)，是不太大，但只要班级数够多，便不难发生。98课纲说“大多数学生所得的信赖区间都会涵盖p”，实在缺乏随机的概念。

情境解读

假设投掷n次，点数1出现a次，则相对频率a/n与0.1之差的绝对值，会大于一给定的正数(不管它多小)之概率，将随着n的趋近至无限大，而趋近至0。

在电影决胜21点(英文片名就是21)中，那位数学教授于课堂上提出一个问题。有3扇门，其中1扇门后有汽车，另两扇门后为山羊。你选择第1扇门后，主持人打开第2扇门，见到山羊。问你这时该不该换选第3扇门？有位学生答：

学生时代，我主修数学一种从给定前提下演绎结果的逻辑。后来我念统计学一种从经验中学习的方法，及从给定的结果验证前提的逻辑。我已认识到数学及统计，在人类为提昇自然知识，及有效管理日常事务所做的一切努力中，占有重要性。

某些家，可能认为一切其实都是按照神的旨意在进行，只是我们不知而已。说不定真是如此。你看过杰逊王子战群妖(JasonandtheArgonauts)吗？这是一部基于希腊的电影，内容与十二星座中的牡羊座有关，1963出品。我虽是幼时看的，至今仍印象深刻。片中杰逊王子的各种突如其来的灾难，以及一次又一次英勇的逢凶化吉，不过是天后赫拉(Hera)，与宙斯(Zeus)在较劲，分别作梗及协助。但若无从了解神的旨意，对于未来，也只好视为随机。

过去大家在数学课程中，会遇到所谓应用题。题目看懂，写出数学式子后，就是解数学了。这时便可抛开原先那段冗长的叙述。但在概率里，有些看似简单的情境，因解读不同，会导致南辕北辙的结论。底下给几个例子来看。

随着科技进步，人们逐渐弄明白很多现象的来龙去脉。例如，我们知道女性一旦怀孕，婴儿性别便已确定。但对一大腹便便的妇女，好事者由于不知，仍可猜测其生男生女之概率。考试前夕，学生们虽认真准备，但还是猜题，各有其认为考出概率很大的题目。老师获知后，觉得好笑。课堂中已一再暗示，那些题会考，几乎都该能确定了，何需再猜？实则试题早已印妥，而学生不知考题，且未体会老师的暗示及，所以仍可以大猜一通。另外，诸如门外有人敲门，你好奇是男是女？老师要你猜拿在背后的水果，是橘子或苹果？同学盖住落地的铜板，要你猜正面或朝上？这类明明已确定的事，本身其实并不随机，只是对你而言，却有如惠子在秋水篇所说的“子非鱼”，当然可猜鱼快乐的概率。

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